Man definiert die natürlichen Zahlen in der Mengenlehre üblicherweise auf die folgende Weise:

0 := {} (die leere Menge)

1 := {0} = { {} }

2 := {0, 1} = { {}, {{}} }

3 := {0, 1, 2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} }

4 := {0, 1, 2, 3}

...

So definiert, sind natürliche Zahlen wohlgeordnet. Zu dem Beispiel hat die Zahl 4 die Elemente 0, 1, 2, 3, die als 0 < 1 < 2 < 3 geordnet werden. Eine natürliche Zahl a ist dabei kleiner als eine Zahl b, wenn a ein Element von b ist.

Wir wollen zwei wohlgeordnete Mengen nicht unterscheiden, wenn sie sich ca. in dem "Aussehen" ihrer Elemente, nicht aber in deren Anordnung unterscheiden, dazu definieren wir:

Zwei total geordnete Mengen (A, <=) und (B, [=) heißen ordnungsisomorph, wenn es eine Bijektion f: A -> B gibt, so dass für alle a, b aus A gilt:

Aus a <= b folgt f(a) [= f(b).

Die Abbildung f heißt dann Ordungsisomorphismus (siehe auch Isomorphismus).

Nun kann man zeigen, dass jede endliche wohlgeordnete Menge ordnungsisomorph zu (genau) einer natürlichen Zahl ist. Außerdem sind für eine wohlgeordnete Menge äquivalent: sie ist endlich; die umgekehrte Ordnung ist eine Wohlordnung; jede nichtleere Teilmenge hat ein größtes Element.

Dies liefert die Grundlage für die Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zu Ordinalzahlen, die als spezielle wohlgeordnete Mengen so gewählt werden, dass jede wohlgeordnete Mengen ordnungsisomorph zu exakt einer Ordinalzahl ist. Die folgende Definition verbessert Cantors Ansatz und wurde zuerst von John von Neumann angegeben:

Eine Menge S heißt Ordinalzahl, wenn S total geordnet bezüglich der Mengeninklusion ist und jedes Element von S auch Teilmenge von S ist.

Eine solche Menge S ist automatisch wohlgeordnet aufgrund des Fundierungssaxioms, welches besagt: Jede nichtleere Menge S hat ein Element a, das disjunkt zu S ist.

Die natürlichen Zahlen sind nach dieser Definition Ordinalzahlen. Zu dem Beispiel ist 2 = {0, 1} ein Element von 4 = {0, 1, 2, 3} und gleichzeitig eine Teilmenge.

Man kann mittels transfiniter Induktion zeigen, dass jede wohlgeordnete Menge ordnungsisomorph zu exakt einer Ordinalzahl ist.

Die Elemente einer Ordinalzahl sind selbst Ordinalzahlen. Hat man zwei Ordinalzahlen S und T, dann ist S ein Element von T exakt dann, wenn S eine Teilmenge von T ist, und es gilt dass entweder S ein Element von T', oder T ein Element von S, oder S = T ist. Damit sind Ordinalzahlen total geordnet bezüglich der Elementbeziehung. Es gilt sogar noch mehr:

Jede Menge von Ordinalzahlen ist wohlgeordnet.

Dies verallgemeinert das Wohlordnungsprinzip, dass jede Menge von natürlichen Zahlen wohlgeordnet ist, und erlaubt die freie Anwendung der transfiniten Induktion und der Beweismethode des "unendlichen Abstiegs" auf Ordinalzahlen.

Eine wichtige Feststellung ist, dass jede Ordinalzahl S exakt die Ordinalzahlen als Elemente hat, die kleiner sind als S. Durch diesen Satz wird die mengentheoretische Struktur einer Ordinalzahl vollständig durch kleinere Ordinalzahlen beschrieben. Man benutzt diese Tatsache, um andere Aussagen zu beweisen, wie z.B., dass jede Menge S von Ordinalzahlen ein Supremum hat, nämlich die Vereinigung aller Elemente von S, welche selbst eine Ordinalzahl ist. Eine andere Folgerung ist der Satz, dass die Klasse aller Ordinalzahlen keine Menge, sondern eine echte Klasse ist. Der Beweis basiert auf dem Regularitätsaxiom, dass keine Menge sich selbst als Element enthält. Wäre die Klasse aller Ordinalzahlen eine Menge, dann wäre sie selbst eine Ordinalzahl, müsste sich also selbst enthalten. (Siehe auch das Burali-Forti-Paradoxon .)

Um die Summe zweier Ordinalzahlen S und T zu definieren, geht man so vor: Man bebezeichnet die Elemente von T so um, dass S und T disjunkt sind, und "schreibt S links neben T", d.h. man vereinigt S mit T und definiert die Ordnung so, dass innerhalb von S und T jeweils die vorige Ordnung gilt und jedes Element von S kleiner ist als jedes Element von T. Auf diese Weise wird die neue Menge wohlgeordnet und ist ordnungsisomorph zu einer eindeutig bestimmten Ordinalzahl, die man mit S + T genannt. Diese Addition ist assoziativ und verallgemeinert die Addition natürlicher Zahlen.

Die erste transfinite Ordinalzahl ist die geordnete Menge aller natürlichen Zahlen, man genannt sie mit ω. Veranschaulichen wir uns die Summe ω + ω: Wir schreiben die zweite Kopie als {0' < 1' < 2' < ...}, dann haben wir

ω + ω = {0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < 3' < ...}

Diese Menge ist nicht ω, denn in ω ist die 0 die einzige Zahl ohne Vorgänger, und ω + ω hat zwei Elemente ohne Vorgänger (0 und 0'). Die Menge 3 + ω sieht so aus:

{0 < 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < 3' < ...}

Und nach einem weiteren Umbebezeichnen sieht sie aus wie ω. Wir haben also 3 + ω = ω. Dagegen ist ω + 3

{0 < 1 < 2 < ... < 0' < 1' < 2'}

ungleich ω, denn 2' ist das größte Element von ω+3, aber ω hat kein größtes. Also ist die Addition nicht kommutativ. Man sollte nun erkennen können, dass z.B. ω + 4 + ω = ω + ω ist.

Um zwei Ordinalzahlen S und T zu multiplizieren, schreibt man T hin und ersetzt jedes Element von T durch eine andere Kopie von S. Das Ergebnis ist eine wohlgeordnete Menge, die isomorph zu exakt einer Ordinalzahl ist, die man mit S·T genannt. Auch diese Verknüpfung ist assoziativ und verallgemeinert die Multiplikation der natürlichen Zahlen. (Dasselbe Ergebnis erreicht man, indem man auf dem kartesischen Produkt S × T eine lexikographische Ordnung definiert: (s1,t1) <= (s2,t2), falls t1<t2 oder (t1=t2 und s1<=s2).)

Die Ordinalzahl ω·2 sieht so aus:

{0₀ < 1₀ < 2₀ < ... < 0₁ < 1₁ < 2₁ < ...}

Man erkennt, dass ω·2 = ω + ω ist. Dagegen sieht 2·ω so aus:

{0₀ < 1₀ < 0₁ < 1₁ < 0₂ < 1₂ < ...}

und nach Umbebezeichnen sehen wir, dass 2·ω = ω ist. Also ist auch die Multiplikation von Ordinalzahlen nicht kommutativ.

Eines der Distributivgesetze gilt für Ordinalzahlen: R·(S+T) = R·S + R·T. Das kann man direkt aus den Definitionen ablesen. Jedoch gilt das andere Distributivgesetz nicht allgemein, denn z.B. ist (1+1)·ω = 2·ω = ω, aber 1·ω + 1·ω = ω + ω.

Das neutrale Element der Addition ist die 0, das neutrale Element der Multiplikation ist die 1. Keine Ordinalzahl außer 0 hat ein Negatives (ein additiv inverses Element), also bilden die Ordinalzahlen mit der Addition keine Gruppe, und erst recht keinen Ring.

Man kann fortfahren und die Potenz S^T von Ordinalzahlen S und T definieren und ihres Merkmalen behandeln, was wir in diesem Artikel jedoch nicht tun, da dafür noch weiteres Merkmalen der Ordinalzahlen bekannt sein müssen.

Es gibt Ordinalzahlen, die nicht mit einer endlichen Anzahl von Rechenoperationen (Addition, Multiplikation, Potenzierung) von ω aus erreichbar sind. Die kleinste von ihnen bezeichnet man ε₀. Sie ist stets noch abzählbar, aber es gibt auch überabzählbare Ordinalzahlen. Die kleinste überabzählbare Ordinalzahl ist die Menge aller abzählbaren Ordinalzahlen, und wird mit ω₁ genannt.

Die Ordinalzahlen lassen sich aufgrund ihrer totalen Ordnung durch die Ordnungstopologie zu einem topologischen Raum machen. In dieser Topologie konvergiert die Folge (0, 1, 2, ...) gegen ω, und die Folge (ω, ω^ω, ω^(ω^ω), ...) konvergiert gegen ε₀. Ordinalzahlen ohne Vorgänger können immer als Grenzwert eines Netzes von kleineren Ordinalzahlen dargestellt werden und heißen Grenz-Ordinalzahlen. In dem allgemeinen sind sie jedoch nicht Grenzwert einer Folge kleiner Ordinalzahlen, wie z.B. ω₁.

Der topologische Raum ω₁+1 wird in Büchern häufig als Beispiel einer nicht abzählbaren Topologie genannt. Zu dem Beispiel gilt in dem Raum ω₁+1, dass das Element ω₁ in dem Abschluss der Teilmenge ω₁ liegt, aber keine Folge in ω₁ gegen das Element ω₁ konvergiert.

Einige Grenz-Ordinalzahlen können benutzt werden, um die "Größe" von Mengen anzugeben. Man bezeichnet sie Kardinalzahlen.